فصل 2 مدل سازی سری های زمانی

همانطور که قبلا ذکر شد، یک سری زمانی باید ثابت باشد تا بتوان از آن برای پیش بینی مقادیر مناسب استفاده کرد. ما چندین مدل را که می توانیم ایجاد کنیم تا امکان پیش بینی را فراهم کنیم، خواهیم داشت.

لطفاً توجه داشته باشید که 3 مدل اولی که ما پوشش می دهیم، AR، MA، و ARMA، می توانند در سری های زمانی از قبل ثابت استفاده شوند تا به آن ها اجازه دهیم مقادیر بهتری را پیش بینی کنند. مدل های باقی مانده در سری های زمانی غیر ثابت استفاده می شوند.

2. 1 AR و MA

دو مدل از متداول ترین مدل ها در سری های زمانی، مدل های خودرگرسیون (AR) و مدل های میانگین متحرک (MA) هستند.

مدل خودرگرسیون: AR(p)

مدل خودرگرسیون از مشاهدات مراحل زمانی قبلی به عنوان ورودی معادلات رگرسیون برای پیش بینی مقدار در مرحله بعدی استفاده می کند. مدل AR از یک آرگومان p استفاده می کند که تعیین می کند چند مرحله زمانی قبلی وارد می شود.

ترتیب p مدل خودرگرسیون را می توان با نگاه کردن به تابع خودهمبستگی جزئی (PACF) تعیین کرد. PACF همبستگی جزئی یک سری زمانی ثابت را با مقادیر تأخیر خاص خود نشان می دهد که در تمام تأخیرهای کوتاه تر از سری زمانی پسرفت می کنند.

بیایید به نمودار PACF برای سری زمانی دمای جهانی با استفاده از تابع pacf() در R نگاهی بیندازیم.

در این طرح به دنبال چه چیزی باشیم؟هدف اصلی این است که به دنبال تعداد سنبله های قابل توجه خارج از فواصل اطمینان آبی باشید. در این طرح، من 2 سنبله را تعیین می کنم، یکی در 0. 1 و دیگری در 0. 3. سنبله در 0 به حساب نمی آید و هر سنبله ای خارج از رنگ آبی بعداً در طرح احتمالاً به دلیل خطای تصادفی است. بنابراین، این شبیه یک مدل AR(2) است.

بیایید به یک مدل AR(2) برای سری زمانی دمای جهانی نگاه کنیم. می توانید از تابع ar() در R استفاده کنید. با این حال، من استفاده از تابع Arima() از بسته پیش بینی را توصیه می کنم زیرا در ادامه این فصل از آن استفاده خواهیم کرد.

بنابراین، این مدل AR(2) ما است. چگونه بفهمیم که مدل خوبی است؟ابتدا مدل های دیگر را محاسبه کرده و سپس در مورد نحوه مقایسه آنها صحبت خواهیم کرد.

مدل میانگین متحرک: MA(q)

مدل میانگین متحرک یک مدل سری زمانی است که برای خود همبستگی بسیار کوتاه مدت به حساب می آید. اساساً بیان می کند که مشاهده بعدی میانگین هر مشاهده گذشته است. ترتیب مدل میانگین متحرک، q را معمولاً می توان با نگاه کردن به نمودار ACF سری زمانی تخمین زد. بیایید دوباره به طرح ACF نگاهی بیندازیم.

همانطور که دیدیم، این طرح ACF زمان زیادی طول می کشد تا همگرا شود. این یعنی چی؟این به احتمال زیاد به این معنی است که ساخت یک مدل میانگین متحرک از این سری زمانی مشکل نداشتن سری زمانی ثابت را برطرف نمی کند. بنابراین، مدل MA احتمالاً مدل خوبی برای پیش بینی نخواهد بود. با این حال، به خاطر مقایسه مدل ها، ما همچنان یکی را مشاهده خواهیم کرد.

بیایید به یک مدل MA(5) نگاه کنیم. معمولاً، برای تعداد سنبله های مهم در نمودار ACF، ترتیب q را انتخاب می کنیم. با این حال، با توجه به اینکه در این مثال صدها مورد وجود دارد، ما فقط از 5 استفاده می کنیم. مراقب باشید: اگر از یک سفارش بسیار بالا استفاده کنید، می تواند منجر به پیش بینی های بیش از حد در مدل شود که ممکن است باعث بیش از حد برازش شود.

ما فرمول ها و نمادهای واقعی مدل ها را پوشش ندادیم. با این حال، اگر این به شما علاقه مند است، برای جزئیات بیشتر، این وب سایت را در زیر مشاهده کنید. فرمول های پشت مدل های AR و MA

دستورات مدل های AR و MA یا معمولاً با تعداد سنبله های قابل توجه در نمودارهای PACF و ACF انتخاب می شوند. با این حال شرایط دیگری نیز وجود دارد که اگر اینجا کلیک کنید قابل مشاهده است.

2. 2 آرما، آریما و ساریما

مدل میانگین متحرک اتورگرسیو (ARMA)، مدل میانگین متحرک یکپارچه اتورگرسیو (ARIMA) و مدل میانگین متحرک یکپارچه اتورگرسیو فصلی (SARIMA) نیز مدل هایی هستند که معمولاً در تحلیل سری های زمانی استفاده می شوند. ظاهراً همه آنها از یک خانواده هستند. بنابراین، ما تفاوت های کوچک بین آنها را توضیح خواهیم داد.

مدل میانگین متحرک خودرگرسیون: ARMA(p, q)

مدل های میانگین متحرک خودرگرسیون به سادگی ترکیبی از یک مدل AR و یک مدل MA هستند. بیایید نگاهی به مدل ARMA خود بیاندازیم.

ما قصد داریم یک مدل ARMA(2, 5) را به سادگی با استفاده از دو سفارش مدل های قبلی بسازیم.

مدل میانگین متحرک یکپارچه اتورگرسیو: ARIMA(p, d, q)

این مدل همان مدل قبلی است، با این تفاوت که اکنون این آرگومان عجیب d را دارد. این d به چه معناست؟d تعداد تفاوت های غیر فصلی مورد نیاز برای ایستایی را نشان می دهد. به سادگی، d فقط با حذف روندها، داده های غیر ثابت را ثابت می کند!

اصطلاح متمایز خود را چگونه انتخاب می کنید؟

معمولاً عبارت های کوچک برای عبارت متفاوت انتخاب می شوند. اگر خیلی بالا را انتخاب کنید، احتمالاً باعث می شوید که مدل شما اطلاعات شما را نادرست نشان دهد. برخی از قوانین کلی برای انتخاب عبارت متمایز شما این است که تفاضل نباید واریانس شما را افزایش دهد و همبستگی خودکار مدل باید کمتر ا ز-0. 5 باشد.

بنابراین ، من چند اصطلاح متفاوت را امتحان کردم و نتیجه گرفتم که (d = 1 ) برای مدل بهتر است زیرا کمترین واریانس را داشت و همبستگی کمتر ا ز-0. 5 بود.

مدل میانگین متحرک یکپارچه خود خودگردان فصلی: Sarima (P ، D ، Q) (P ، D ، Q) S

مدل SARIMA پسوند مدل Arima است. تنها تفاوت اکنون این است که این مدل بر روی یک مؤلفه فصلی اضافه شده است. همانطور که دیدیم ، Arima برای تنظیم یک سری زمانی غیر ثابت با تنظیم روند مناسب است. با این حال ، مدل SARIMA می تواند با از بین بردن روند و فصلی ، یک سری زمانی غیر ثابت را تنظیم کند.

• P - ترتیب روند اتورگرایی
• د - ترتیب متفاوت روند
• س - ترتیب روند متوسط متحرک

معنی (P ، D ، Q) چیست؟

• P - ترتیب فصلی خودجوش
• د - ترتیب اختلافات فصلی
• س - ترتیب متوسط فصلی متحرک
• s - تعداد دوره های فصل شما

چگونه این اصطلاحات جدید را انتخاب می کنید؟

روش های مختلفی برای انتخاب این سفارشات وجود دارد. با این حال ، هنگام تلاش برای استفاده از مدل Sarima در عمل ، احتمالاً بهتر است R یا سایر نرم افزار پارامترهای شما را تخمین بزنند. این مقاله در اینجا به این موضوع با جزئیات بیشتری اشاره می کند.

در مثال ما ممکن است مدل ساریما نداشته باشیم زیرا سری زمانی ما فصلی نداشت. بنابراین ، ممکن است یک ساریما (2،1،5) (0،0،0) 12 را دنبال کند.

دوره S 12 خواهد بود زیرا اگر فصلی داشته باشیم ، 12 دوره (ماه) در این فصل وجود خواهد داشت. ما هنوز با یک مثال دنبال خواهیم کرد. ما می توانیم از عملکرد SARIMA از بسته ASTSA در R. استفاده کنیم

حالا که 5 مدل مختلف داریم ، کدام یک را انتخاب می کنید؟

غالباً ، این کار به سادگی با نگاه کردن به معیار اطلاعات Akaike (AIC) یا معیار اطلاعات بیزی (BIC) انجام می شود. در مثال ما ، ما به AIC خواهیم پرداخت. به طور کلی ، AIC کوچکتر به این معنی است که مدل متناسب با سری زمانی بهتر است.

اگر خروجی هر مدل را بررسی کنید ، خواهید دید که همه آنها یک مقدار AIC دارند. من آنها را نیز در زیر چاپ خواهم کرد.

همانطور که می بینیم ، مدل Sarima در واقع کمترین AIC را داشت ، بنابراین نتیجه می گیریم که ساریما سری زمانی را ثابت کرده و برای پیش بینی بسیار شیرین است. با این حال ، همانطور که قبلاً هم اشاره کردم ؛وقتی نوبت به پیدا کردن بهترین مدل می رسد ، R یا نرم افزار دیگر احتمالاً بهترین هستند. بنابراین ، ما از عملکرد Auto. arima () از بسته پیش بینی استفاده خواهیم کرد که به طور خودکار سفارشات را برای ما انتخاب می کند! در عمل ، من قطعاً توصیه می کنم به جای اینکه از هر مدل استفاده کنید و سفارشات مختلف را آزمایش کنید.

همانطور که می بینیم ، این مدل که برای ما انتخاب شده است ، Sarima (2،1،3) (1،0،0) 12 ، کمترین AIC را د ر-1284. 15 دارد. ما همچنان در فصل بعد به استفاده از این مدل ادامه خواهیم داد.