ریاضی پایان دادن به همه گیر: رشد نمایی و پوسیدگی

در این درس ، دانش آموزان بررسی می کنند که چگونه مفاهیم ریاضی رشد نمایی و پوسیدگی نمایی به توضیح گسترش و کندی کرونوویروس کمک می کند.

برای هر دوست یک داستان ارسال کنید

به عنوان یک مشترک ، شما 10 مقاله هدیه برای ارائه هر ماه دارید. هرکسی می تواند آنچه را که به اشتراک می گذارید بخوانید.

به این مقاله بدهید این مقاله را ارائه دهید

توسط Dashiell Young-Saver

دانش آموزان در دبیرستان های ایالات متحده می توانند تا اول سپتامبر 2021 دسترسی دیجیتالی رایگان به نیویورک تایمز دریافت کنند.

بررسی اجمالی درس

هنگامی که Coronavirus بیش از یک سال پیش به ایالات متحده آمد ، ما یک مانترا جدید ایجاد کردیم: "منحنی را صاف کنید."هدف این بود که رشد نمایی فراری در عفونت ها را مهار کنیم ، از این طریق مانع از غلبه بر بیمارستانها می شود.

با توسعه و جذب واکسن های بسیار مؤثر COVID-19 ، اکنون ما شروع به دیدن پسر عموی ریاضی رشد نمایی-پوسیدگی نمایی-روندهای موردی Covid می کنیم. به گفته کارشناسان ، این خبر خوش آمدید است. اگر همه چیز خوب پیش برود ، روندهای فعلی ممکن است پایان همه گیر را پیش بینی کند.

در این درس ، شما از مفاهیم ریاضی رشد نمایی و پوسیدگی نمایی برای توضیح گسترش و کندی کروناویروس استفاده خواهید کرد. سپس ، شما از این مدل ها برای کشف سناریوهای مختلف پاندمی و پتانسیل دستیابی به مصونیت گله استفاده خواهید کرد.

مواد: منابع زیر برای معلمان و دانش آموزان در دسترس است.

دست گرمی بازی کردن

از نزدیک به نمودار زیر نگاه کنید ، که از قبل "چه چیزی در این نمودار اتفاق می افتد؟"فعالیت.

این نمودار درخت یک زنجیره انتقال بالقوه کروناویروس را نشان می دهد. هر نقطه نمایانگر یک فرد آلوده است. یک فرد آلوده (شخص در بالای نمودار) کرونوویروس را به دیگران پخش می کند ، که سپس آن را برای دیگران و غیره پخش می کنند.

پس از نگاه دقیق به نمودار بالا (یا در این تصویر با اندازه کامل) ، به این چهار سؤال پاسخ دهید. سؤالات برای ایجاد بر روی یکدیگر در نظر گرفته شده است ، بنابراین سعی کنید به ترتیب به آنها پاسخ دهید:

به چه چیزی توجه می کنید؟

از چه چیزی تعجب می کنید؟

این چه تاثیری بر شما و جامعه شما دارد؟

در این نمودار چه خبر است؟تیتر بنویسید که ایده اصلی نمودار را ضبط می کند.

فعالیت ریاضی شماره 1: رشد نمایی و همه گیر Coronavirus

برای درک رشد نمایی ، اجازه دهید نگاهی ریاضی به نمودار درخت بیندازیم - با استفاده از جدول زیر.

نمودار درختی می تواند به ما در مدل سازی تعداد عفونت های جدید در طول زمان کمک کند. به طور خاص، اجازه دهید هر لایه افقی از نقاط را به عنوان نشان دهنده تعداد عفونت های جدید در یک روز خاص تعریف کنیم.

لایه بالایی که روز 0 را نشان می دهد، فقط یک فرد تازه آلوده (یک نقطه) را به تصویر می کشد. لایه بعدی پایین، نشان دهنده روز 1، دو فرد تازه آلوده (دو نقطه) را نشان می دهد. لایه زیر که روز 2 را نشان می دهد، چهار فرد تازه آلوده (چهار نقطه) را به تصویر می کشد. در اینجا تصویری وجود دارد که نشان می دهد ما چگونه روزها را تعریف می کنیم:

می توانیم نمودار خود را با تعداد عفونت های جدید هر روز، بر اساس تعداد نقاط در چند روز اول پر کنیم:

ادامه دهید و بقیه جدول را بر اساس نمودار پر کنید. توجه: ممکن است متوجه الگویی شوید که می تواند زمان زیادی را از شمارش صرفه جویی کند!

به سوالات زیر در مورد نمودار و جدول پاسخ دهید:

جای خالی را با یک عدد پر کنید: در نمودار، هر فرد تازه آلوده بیماری را در روز بعد به ___ افراد جدید منتقل می کند. نکته: از هر نقطه چند خط بیرون می آید؟

به میز نگاه کن. چه الگوی ریاضی را متوجه می شوید؟

بیایید مشاهدات قبلی خود را به هم وصل کنیم. توضیح دهید که چگونه الگوهای آلودگی که در نمودار درختی می بینیم، الگوی ریاضی را که در جدول می بینیم ایجاد می کند.

ضرب مکرر چیزی را ایجاد می کند که ما الگوهای نمایی می نامیم. اگر قبلاً در مورد شارح ها یاد گرفته اید، این نام باید تا حدودی منطقی باشد. توان نشان دهنده ضرب مکرر است. مثلا:

وقتی به طور مکرر در عددی بزرگتر از 1 ضرب می کنیم، رشد نمایی را مشاهده می کنیم. برای درک اینکه رشد نمایی چگونه به نظر می رسد، جدول مقادیر خود را به عنوان یک نمودار تجسم می کنیم.

روزها را به عنوان مقادیر x و تعداد عفونت های جدید را به عنوان مقادیر y در نظر بگیرید. هر ردیف افقی روی جدول یک مقدار داده (یک جفت مختصات x-y) را نشان می دهد. این مقادیر داده را بر روی شبکه مختصات x-y زیر نمودار کنید. پس از ترسیم نقاط، آنها را با استفاده از یک خط منحنی (نه یک خط مستقیم) به هم وصل کنید. نکته: اولین نکته قبلاً برای شما نمودار شده است.

به موارد زیر پاسخ دهید:

توضیح دهید که در طول زمان چه اتفاقی برای تعداد عفونت های جدید می افتد.

توضیح دهید که در طول زمان چه اتفاقی برای میزان عفونت های جدید می افتد.

بیمارستان ها ظرفیت و فضای تخت محدودی دارند. با استفاده از این نمودار، در مورد اینکه چرا در مراحل اولیه همه گیری بسیار مهم بود پیروی از دستورالعمل های فاصله گذاری اجتماعی و «مسطح کردن منحنی» بحث کنید.

یکی از راه های آزمایش کیفیت یک مدل ریاضی مقایسه آن با داده های موجود است. در زیر گرافیکی از تعداد پرونده های Coronavirus جهان در اوایل همه گیر (مارس 2020) ، با استفاده از داده های دنیای ما در داده ها قرار دارد. علاوه بر داده های خام (نقاط سیاه) ، ما یک مدل ریاضی رشد نمایی (خط آبی) متناسب هستیم.

آیا شما اعتقاد دارید که یک مدل رشد نمایی برای مدل سازی گسترش اولیه COVID-19 مناسب است؟با استفاده از گرافیک های بالا توجیه کنید.

جورج E. پ. به مدل و داده ها نگاه کنید. این مدل از نظر داده مناسب نیست. چرا فکر می کنی مسئله اینه؟آیا مدل هنوز مفید است؟

فعالیت ریاضی شماره 2: پوسیدگی نمایی و پایان دادن به همه گیر

مقاله برجسته را از ابتدا از طریق بند زیر بخوانید:

هر مورد از COVID-19 که از کاهش زنجیره های انتقال جلوگیری می شود ، که مانع از موارد بسیاری دیگر در خط می شود. این بدان معناست که همان اقدامات احتیاطی که انتقال را به اندازه کافی کاهش می دهد تا باعث افت بزرگ در تعداد مواردی شود که موارد زیاد در موارد کم تر ترجمه می شوند. و این تغییرات به مرور زمان اضافه می شود. به عنوان مثال ، کاهش 1000 مورد در هر روز به معنای کاهش 500 مورد در روز 1 و 125 مورد در روز 3 اما فقط 31 مورد در روز 5 است.

با واکسینه شدن افراد ، کمتر احتمال دارد که ویروس را نشان داده و نشان دهند. از اوایل به نمودار درخت فکر کنید. واکسن به طور موثری مسیرهای عفونت شدید را از فرد به فرد دیگر مسدود می کند (خطوط بین نقاط را می شکند). از آنجا که تعداد بیشتری از افراد واکسینه می شوند ، مسیرهای بیشتری مسدود می شوند و گسترش ویروس شروع به کند شدن می کند.

گسترش چقدر می تواند کند باشد؟نویسنده نمونه ای را ارائه می دهد که در آن تعداد موارد هر روز به نصف کاهش می یابد. از نظر ریاضی ، این را می توان به صورت:

تعداد موارد فردا = 0. 5 * (تعداد موارد امروز)

بیایید یک جدول از مقادیر ایجاد کنیم. با موارد زیر شروع کنید:

برای یافتن تعداد موارد فعال در روز 1 ، می توانیم فرمول را دنبال کنیم و روز 0 را با 0. 5 ضرب کنیم. این در زیر نشان داده شده است:

پیش بروید و الگوی را برای پر کردن بقیه جدول ادامه دهید. ممکن است برای چند روز پاسخ اعشاری دریافت کنید. در هر روز ، قبل از شروع روز بعد ، پاسخ خود را به نزدیکترین شماره کامل دور کنید.

باز هم ، ما ضرب مکرر را می بینیم. این بدان معنی است که ما یک الگوی نمایی دیگر داریم. با این حال ، از آنجا که ما با تعداد کمتر از 1 ضرب می کنیم ، اکنون پوسیدگی نمایی داریم. مقاله با استفاده از این گرافیک ، پوسیدگی نمایی را تجسم می کند:

کل موارد فعال

موارد وقتی سریعتر می شوند

اعداد زیاد است

اما آهسته تر سقوط کنید

همانطور که پرونده ها پایین می آیند

کل موارد فعال

موارد وقتی سریعتر می شوند

اعداد زیاد است

اما آهسته تر سقوط کنید

همانطور که پرونده ها پایین می آیند

توسط نیویورک تایمز

به سوالات زیر پاسخ دهید:

در جدول مقادیر ، تعداد موارد از روز 0 به روز 1 چقدر کاهش یافته است؟تعداد پرونده ها از روز 5 به روز 6 چقدر کاهش یافته است؟در مورد هر روشی که متوجه شوید نظر دهید.

به روشی که در بالا ذکر کردید فکر کنید. آیا نمودار روند مشابهی را نشان می دهد؟توضیح.

در این مقاله آمده است: "بدترین بیماری همه گیر ممکن است زودتر از آنچه فکر می کنید تمام شود."فرض کنید افراد همچنان واکسینه می شوند و از دستورالعمل های بهداشت عمومی پیروی می کنند. چرا مدل پوسیدگی نمایی نشان می دهد که بدترین وضعیت "زودتر" از آنچه فکر می کنیم وجود خواهد داشت؟چرا مجبور نیستیم مدتی منتظر بمانیم تا بدترین حالت را پشت سر بگذاریم؟

مانند گذشته ، ما می توانیم با مقایسه آن با داده های واقعی ، کیفیت مدل خود را ارزیابی کنیم. ادامه خواندن مقاله از طریق بند زیر:

این الگوی در حال حاضر در ایالات متحده پدید آمده است: فقط 22 روز طول کشید تا پرونده های روزانه از اوج 8 ژانویه در حدود 250،000 سقوط کند ، اما بیش از سه برابر بیشتر از این که موارد روزانه 100000 نفر دیگر سقوط کنند.

در اینجا یک نمودار از پایگاه داده COVID-19 نیویورک تایمز وجود دارد که این روند را نشان می دهد (تمرکز روی ژانویه 2021 و به بعد):

به سوالات زیر پاسخ دهید:

در این مقاله آمده است که تعداد پرونده در 22 روز 100000 کاهش یافته است. پس از آن ، سه برابر طول کشید تا این پرونده ها 100000 نفر دیگر کاهش یابد. توضیح دهید که چگونه این بیانیه از مدل پوسیدگی نمایی پشتیبانی می کند.

بخشی از نمودار را که با بیانیه نویسنده مطابقت دارد (اوج ژانویه 2021 و پس از آن) پیدا کنید. آیا این قسمت از نمودار مانند پوسیدگی نمایی به نظر می رسد؟توضیح.

فعالیت ریاضی شماره 3: پیشخوان ها

خواندن مقاله را تا زمانی که به گرافیک زیر برسید ادامه دهید:

کل موارد فعال

واداما اگر آرامش بگیریم افزایش می یابد

اقدامات احتیاطی خیلی زود

کل موارد فعال

واداما اگر آرامش بگیریم افزایش می یابد

اقدامات احتیاطی خیلی زود

توسط نیویورک تایمز

این نمودار یک مفهوم مهم در آمار و علوم را نشان می دهد: ضد خلاف. هر وقت با خودتان فکر می کنید ، "من تعجب می کنم که چه اتفاقی می افتد ..." - شما اساساً در حال ساخت یک خلاف واقع هستید. یک خلاف واقع یک واقعیت متناوب است که اگر چیزی در مورد دنیای خود تغییر دهید وجود دارد.

در مورد فوق ، خط متراکم یک سناریوی مورد COVID-19 را ارائه می دهد. در این واقعیت خلاف واقع ، ما اقدامات احتیاطی بهداشت عمومی را "خیلی زود" آرام می کنیم و روند پوسیدگی نمایی را می شکنم.

با این گرافیک ، نویسنده در مورد محدودیت های Covid-19 استدلال می کند. آنها چه استدلال ضد خلافقی را مطرح می کنند؟چطور میتوانی بگویی؟

تصور کنید که یک خلاف واقع شده است که در آن محدودیت های آرامش بخش را در یک زمان حتی زودتر شروع کردیم ، دقیقاً همانطور که پرونده ها شروع به روند نزولی کردند. آیا شاهد شکاف بزرگتر یا کوچکتر بین خط جامد و ضد خلاف هستیم؟چرا؟

بیشتر

گزینه 1: پوسیدگی نمایی در برخی از کشورها. رشد نمایی در دیگران.

از درس شبکه یادگیری در مورد افزایش اخیر موارد Coronavirus در هند استفاده کنید. درس را به این تجسم (از دنیای ما در داده ها) از روند پرونده COVID-19 در هند و ایالات متحده وصل کنید. پوسیدگی نمایی را از کجا می بینید؟رشد نمایی را از کجا می بینید؟چه چیزی باعث می شود روند پرونده بین کشورها متفاوت باشد؟

گزینه 2: آیا به مصونیت گله خواهیم رسید؟

مقاله "رسیدن به" مصونیت گله "را در ایالات متحده بعید به نظر برسانید ، کارشناسان معتقدند."در مورد سؤالات زیر تأمل کنید: مصونیت گله چه ارتباطی با رشد نمایی و پوسیدگی دارد؟برای رسیدن به مصونیت گله چه اتفاقی می افتد؟چه عواملی بر توانایی ما در دستیابی به مصونیت گله تأثیر می گذارد؟چرا برخی از کارشناسان هنوز امیدوار هستند ، حتی اگر ما به مصونیت گله ای کاملاً نرسیم؟همچنین می توانید موضوع را به صورت بصری با این "آنچه در این نمودار اتفاق می افتد" بررسی کنید؟ "فعالیت.

گزینه 3: ریاضی کارآیی واکسن را کاوش کنید.

از درس شبکه یادگیری در محاسبه اثربخشی واکسن با داده های آزمایش اصلی Pfizer استفاده کنید. همانطور که از طریق درس کار می کنید ، از ریاضیات ، آمار و احتمال استفاده خواهید کرد تا از نحوه عملکرد واکسن استفاده کنید.(اسپویلر: خوب عمل کرد.)

گزینه 4: تردید واکسن را تجزیه و تحلیل کنید.

برای تجزیه و تحلیل نرخ واکسیناسیون در جامعه خود ، پایگاه داده واکسیناسیون نیویورک تایمز را کاوش کنید. سپس ، از این درس شبکه یادگیری استفاده کنید تا در مورد تردید واکسن و تلاش برای ترغیب به شکاک های واکسن بیاموزید.

این درس توسط Dashiell Young-Saver ، که معلم آمار دبیرستان است و بنیانگذار سایت Skipt Skipt است. کمک های مهم توسط شارون هسنی ، که ویژگی هفتگی شبکه یادگیری NYT را می نویسد "در این نمودار چه می گذرد؟"

درباره درس روز

• تمام درس های روز ما را در این ستون پیدا کنید.• معلمان ، برای یادگیری نحوه استفاده از این ویژگی در کلاس خود ، وبینار تقاضا ما را تماشا کنید.