کاردانو و حل معادلات مکعب و کوارتیک

جیرولامو کاردانو یک پزشک معروف ایتالیایی، یک قمارباز مشتاق و نویسنده ای پرکار بود که مادام العمر به ریاضیات علاقه داشت. Ars Magna (1545؛ "کار بزرگ") او حاوی سیستماتیک ترین و جامع ترین شرح دوره رنسانس از حل معادلات مکعبی و کوارتیک است. ارائه کاردانو از سنت اسلامی برای حل یک نمونه از هر مورد ممکن و سپس ارائه توجیهات هندسی برای رویه های خود، بر اساس گزاره های عناصر اقلیدس پیروی می کرد. او همچنین از سنت اسلامی در بیان همه ضرایب به صورت اعداد مثبت پیروی کرد و ارائه او کاملاً بلاغی و بدون دستکاری نمادین واقعی بود. با این وجود، او استفاده از نمادها را به عنوان نوعی کوتاه نویسی برای بیان مشکلات و تشریح راه حل ها گسترش داد. بنابراین، چشم انداز هندسی یونانی همچنان بر آن حاکم بود - برای مثال، حل یک معادله همیشه یک پاره خط بود، و مکعب مکعبی بود که بر روی چنین پاره ای ساخته شده بود. با این حال، کاردانو می تواند معادله ای مکعبی بنویسد که به صورت c u p p حل شود: 6 r e b a e q u a l i s 20 (به معنی: x 3 + 6 x = 20) و جواب را به صورت R ارائه دهد. V : c u . آر. 108 p : 10 m : R . V : c u . آر. 108 m : 10 به معنی x = .

از آنجایی که کاردانو از مشاهده اعداد منفی به عنوان ضرایب احتمالی در معادلات خودداری کرد، نمی توانست مفهوم معادله عمومی درجه سوم را توسعه دهد. این بدان معنی بود که او باید 13 معادله درجه سوم "متفاوت" را در نظر می گرفت. به طور مشابه، او 20 حالت مختلف را برای معادلات درجه چهارم، با پیروی از روش هایی که شاگردش لودویکو فراری توسعه داد، در نظر گرفت. با این حال، کاردانو گاهی اوقات مایل بود احتمال راه حل های منفی (یا "کاذب") را در نظر بگیرد. این به او اجازه داد تا برخی از قوانین کلی را فرموله کند، مانند این که در یک معادله با سه ریشه واقعی (شامل ریشه های منفی)، مجموع ریشه ها باید به جز علامت، با ضریب عبارت مربع برابر باشد.

علیرغم پذیرش اساسی او از دیدگاه های سنتی در مورد اعداد، حل برخی از مشکلات کاردانو را به فکر کردن ایده های رادیکال تری سوق داد. به عنوان مثال، او نشان داد که 10 را می توان به دو قسمت تقسیم کرد که حاصلضرب آن 40 است. پاسخ، 5 + جذر 15 √ و 5 − جذر 15 √، نیاز به استفاده از اعداد خیالی یا مختلط داشت.، یعنی اعدادی که جذر یک عدد منفی را شامل می شوند. چنین راه حلی کاردانو را ناراحت کرد، اما او در نهایت آن را پذیرفت و آن را "به همان اندازه که تصفیه شده و بی فایده است" اعلام کرد.

اولین درمان جدی و منظم از اعداد پیچیده ، باید در انتظار ریاضیدان ایتالیایی رافائل بمبلی ، به ویژه سه جلد اول از L'Agebra ناتمام او (1572) باشد. با این وجود ، مفهوم تعدادی که مربع آن تعداد منفی است ، بیشتر ریاضیدانان ناراحت کننده است. دقیقاً در طبیعت ، در طبیعت می توان به وجود یک مقدار منفی یا خیالی اشاره کرد؟بنابراین پذیرش اعداد فراتر از اعداد منطقی مثبت آهسته و تمایلی نداشت.

viète و معادله رسمی

در کار ریاضیدان فرانسوی فرانسوا ویته است که اولین برداشت مداوم ، منسجم و منظم از یک معادله جبری به معنای مدرن ظاهر شد. نوآوری اصلی Viète در Artem Analyticam Isagoge (1591 ؛ "مقدمه ای بر هنر تحلیلی") استفاده از نمادهای خوب انتخاب شده از یک نوع (مصوت ها) برای ناشناخته ها و نوع دیگری (صامت) برای مقادیر شناخته شده بود. این امر نه تنها انعطاف پذیری و کلی بودن در حل معادلات خطی و درجه دوم را فراهم می کند بلکه چیزی از همه کار پیشینیان وی وجود ندارد ، یعنی تجزیه و تحلیل واضح از رابطه بین اشکال راه حل ها و مقادیر ضرایب معادله اصلی. ویته سهم خود را به عنوان ایجاد "روش منظم تفکر" که منجر به راه حل های کلی می شود ، می دید ، نه اینکه فقط یک "کیف ترفندها" برای حل مشکلات خاص باشد.

وی با ترکیب استفاده موجود با نوآوری های خود ، توانست معادلات را به روشنی تدوین کند و قوانینی را برای انتقال عوامل از یک طرف یک معادله به طرف دیگر برای یافتن راه حل ها فراهم کند. نمونه ای از یک معادله می تواند باشد: یک مکعب + c plano در aequatus d solido (به معنی: x 3 + c x = d).

توجه داشته باشید که هر یک از اصطلاحات درگیر یک بعدی بود ، یعنی پس از لغو قدرت ، شرایط باقی مانده در هر طرف معادله به قدرت اول است. بنابراین ، در سمت چپ ، بزرگی دو بعدی Z Plano (یک مربع) با متغیر یک بعدی G تقسیم شد و یک بعد را به جا گذاشت. در سمت راست ، مبلغ دو بزرگی سه بعدی (یک قدرت سوم) توسط یک محصول از دو متغیر یک بعدی (که یک مربع ایجاد می کند) تقسیم شد و یک بعد باقی می ماند. بنابراین ، Viète سنت مهم یونانی را شکست که به موجب آن اصطلاحات برابر باید همیشه از همان ابعاد باشد. با این وجود ، برای اولین بار امکان پذیر شد ، در چارچوب یک معادله ، هر دو طرف را با بزرگی خاص چند برابر یا تقسیم کنید. نتیجه یک معادله جدید بود که به خودی خود همگن هنوز همگن با اصلی نبود.

Viète نشان داد که چگونه می توان معادلات داده شده را به دیگران تبدیل کرد ، که قبلاً شناخته شده است. به عنوان مثال ، در نماد مدرن ، او می تواند x 3 + a x 2 = b 2 x را به x 2 + a x = b 2 تبدیل کند. بنابراین وی تعداد موارد معادلات مکعب را از 13 داده شده توسط Cardano و Bombelli کاهش داد. با این وجود ، از آنجا که او هنوز از ضرایب منفی یا صفر استفاده نکرده است ، او نمی تواند تمام موارد ممکن را فقط به یک مورد کاهش دهد.

Viète روشهای خود را برای حل ، به صورت کلی و انتزاعی نمادین ، مشکلاتی مشابه با موارد موجود در سنت دیوفانتین به کار برد. با این حال ، اغلب او همچنین پاسخ های خود را با کلمات ساده بازگرداند - به عنوان اگر به معاصران خود و شاید حتی خودش ، از اعتبار روش های جدید خود اطمینان دهد.

مفهوم اعداد

کار Viète ، که در بالا توضیح داده شد ، حاوی یک برداشت واضح ، منظم و منسجم از مفهوم معادله بود که به عنوان یک نقطه شروع گسترده برای تحولات بعدی خدمت می کرد. هیچ نقطه مرجع مشابهی برای برداشت کلی تعداد وجود ندارد. با این وجود ممکن است برخی از نقاط عطف مهم ذکر شود ، و در میان آنها برجسته بود (Disme: The Art of Tenths) ، یک جزوه تأثیرگذار که در سال 1585 توسط ریاضیدان فلمیش سیمون استوین منتشر شد. De Tyiende به عنوان یک کتابچه راهنمای عملی با هدف آموزش ملزومات کار با کسری اعشاری در نظر گرفته شده بود ، اما همچنین حاوی نوآوری های مفهومی بسیاری بود. این اولین متن ریاضی بود که تمایز همه مهم بین تعداد و بزرگی ، بازگشت به یونانیان باستان ، صریح و کاملاً از بین رفت. به همین ترتیب ، استوین اظهار داشت که 1 عدد دقیقاً مانند سایر موارد است و ریشه یک عدد نیز یک عدد است. استوین همچنین نشان داد که چگونه یک ایده واحد از تعداد ، که به عنوان کسری اعشاری بیان شده است ، می تواند به همان اندازه در زمینه های جداگانه ای مانند بررسی زمین ، اندازه گیری حجم و محاسبات نجومی و مالی استفاده شود. نیاز به توضیحی از این نوع ، روشن می کند که معاصران و پیشینیان استوین تا چه حد از مفهوم مدرن اعداد بودند.

در واقع ، در طول قرن هفدهم ، مباحث پر جنب و جوش در بین ریاضیدانان در مورد مشروعیت استفاده از اعداد مختلف ادامه یافت. به عنوان مثال ، در مورد غیر منطقی ، برخی از ریاضیدانان برجسته ، مانند فرانسوی بلیز پاسکال و بریتانیایی ها اسحاق بارو و اسحاق نیوتن ، مایل بودند فقط به عنوان بزرگی هندسی به آنها مشروعیت دهند. اعداد منفی گاهی اوقات به عنوان مشکل ساز تر دیده می شدند ، و در بسیاری از موارد ، راه حل های منفی معادلات هنوز هم توسط بسیاری از آنها "پوچ" یا "عاری از علاقه" در نظر گرفته می شدند. سرانجام ، تعداد بسیاری از ریاضیدانان هنوز هم توسط بسیاری از ریاضیدانان نادیده گرفته شد ، حتی اگر بمبلی قوانین دقیقی برای همکاری با آنها ارائه داده بود.

با نزدیک شدن به قرن 18 ، همه این بحث ها از بین رفتند. مرحله جدیدی در توسعه مفهوم تعداد آغاز شد و شامل یک سیستم سازی و جستجوی پایه های کافی برای سیستم های مختلف شد. این مرحله جدید در بخش بعدی این مقاله شرح داده شده است.