دو مجموعه فرمول ساده برای برآورد ابعاد فراکتال مرزهای نامنظم

خطوط مرزی نامنظم را می توان با بعد فراکتال مشخص کرد ، که اطلاعات مهمی را برای تجزیه و تحلیل مکانی پدیده های جغرافیایی پیچیده مانند شهرها فراهم می کند. با این حال ، محاسبه بعد فراکتال مرزها به طور سیستماتیک هنگام محدود بودن داده های تصویر دشوار است. فرمول تخمین تقریبی از بعد مرزی بر اساس مربع به طور گسترده در مطالعات شهری و زیست محیطی استفاده می شود. اما بعد مرزی گاهی اوقات بیش از حد ارزیابی می شود. این مقاله به تهیه یک سری فرمول های عملی برای برآورد بعد مرزی با استفاده از ایده های فراکتال اختصاص داده شده است. تعدادی از ارقام منظم به عنوان اشکال مرجع استفاده می شوند ، که از آن روابط اندازه گیری هندسی مربوطه ساخته می شود. از این روابط اندازه گیری ، دو مجموعه از فرمولهای تخمین بعد فراکتال برای توصیف مرزهای شبیه به فراکتال مشتق شده است. به همین ترتیب ، گروهی از شاخص های شکل قابل تعریف است. یافته این است که فرمول های مختلف دارای شایستگی ها و حوزه های مختلف کاربرد هستند و مجموعه دوم ابعاد مرزی تابعی از شاخص های شکل است. تحت شرط کمبود داده ها ، از این فرمول ها می توان برای برآورد مقادیر بعد مرزی به سرعت استفاده کرد. علاوه بر این ، روابط بین ابعاد مرزی و شاخص های شکل برای درک ارتباط و تفاوت بین مقیاس های مشخصه و مقیاس بندی آموزنده است. فرمول ها ممکن است برای مطالعات پیشرو در جغرافیا ، ژئومورفولوژی ، بوم شناسی ، علوم چشم انداز و به ویژه علوم شهری مفید باشد.

1. معرفی

سیستم های فراکتال را می توان با ابعاد فراکتال مشخص کرد و رویکرد اساسی و مهم برای درک بعد فراکتال ، روابط اندازه گیری هندسی است. روابط اندازه گیری هندسی اقلیدسی از اصل سازگاری بعد ناشی می شود. یک اندازه گیری (به عنوان مثال طول) متناسب با اندازه دیگر (به عنوان مثال منطقه) نیست ، مگر اینکه آنها بعد مکانی یکسان داشته باشند [1-3]. از اصل همگن ابعادی ، می توانیم روابط اندازه گیری هندسی اقلیدسی را استخراج کنیم ، که می تواند به رابطه اندازه گیری هندسی فراکتال تعمیم یابد [3-5]. از روابط اندازه گیری فراکتال ، ما می توانیم ابعاد فراکتال و نمای مقیاس آلومتری را بدست آوریم [3 ، 6-8]. یک رابطه مقیاس گذاری آلومتری را می توان به عنوان یک رابطه اندازه گیری فراکتال عمومی در نظر گرفت. در میان روابط مختلف اندازه گیری هندسی ، مشترک مشترک رابطه مقیاس سنجی منطقه است که برای به دست آوردن بعد مرزی اشکال خودی تعبیه شده در یک فضای 2 بعدی استفاده شده است [3 ، 4]. در مطالعات شهری ، ابعاد فرم و بعد مرزی می تواند از روابط اندازه گیری فراکتال حاصل شود [9 ، 10]. ابعاد فرم شهرها شامل ابعاد جعبه و بعد شعاعی است که بر اساس روابط منطقه شهری و اندازه های خطی جعبه یا شعاع دایره های متمرکز تعریف می شوند [9 ، 11]. این کار بر بعد مرزی متمرکز است ، که می تواند در تئوری با بعد فرم همراه باشد.

اگر داده کافی داشته باشیم ، می توانیم پارامترهای مختلف فراکتال را محاسبه کنیم. با استفاده از تحقیقات شهری به عنوان نمونه ، می توانیم با استفاده از ابعاد جعبه و رشد شهری با استفاده از ابعاد شعاعی ، توزیع و ساختار مکانی را تحقیق کنیم. اگر اطلاعات کافی برای مورفولوژی شهری وجود نداشته باشد ، می توان بعد مرزی یک شهر را محاسبه کرد [9 ، 12 ، 13]. با این حال ، گاهی اوقات ، ما فقط منطقه شهری و پاکت شهری را می شناسیم. پاکت شهری نمایانگر خطوط مرزی شهری بسته است ، و منطقه شهری نشان دهنده منطقه در منحنی مرز است [9 ، 14]. در این حالت ، ما فقط می توانیم با استفاده از مجموعه داده های منطقه شهری و طول محیط ، بعد مرزی را تخمین بزنیم. با اشاره به شکل اقلیدسی ، می توانیم یک سری فرمول تخمین از بعد فراکتال بسازیم. شکل های مرجع اصلی دایره استاندارد و مربع هستند. فرمول بعد مرزی بر اساس مربع توسط اولسن و همکاران ساخته شده است.[15] ، و فرمول به طور گسترده در مطالعات شهری و زیست محیطی استفاده شد [16 ، 17]. فرمول ساده و آسان برای درک است و از قابلیت عملی قوی برخوردار است. با این حال ، این دو اشکال دارد. اول ، این فرمول عمدتاً برای اشیاء گسترش یافته به شکل مربع ها قابل استفاده است. دوم ، فرمول گاهی اوقات بعد مرزی را بیش از حد بیش از حد ارزیابی می کند [8 ، 18]. بنابراین ، ما نه تنها به فرمول های تخمین بعد از فراکتال بر اساس سایر اشکال مرجع بلکه یک فرمول تخمین ابعاد فراکتال جدید با مربع مرجع نیاز داریم. این مقاله به استخراج دو مجموعه فرمول تقریبی تخمین بعد فراکتال برای بعد مرزی مانند فراکتال از اشکال نامنظم اختصاص یافته است. ارقام مرجع شامل مثلث منظم ، مربع ، شش ضلعی معمولی و دایره استاندارد است. به عنوان یک مدل کنتراست ، ژنراتور منحنی Snowflake Koch نیز به عنوان یکی از اشکال مرجع استفاده می شود. از روابط اندازه گیری هندسی بر اساس این اشکال مرجع ، یک سری فرمول ها تقریباً به تخمین می زنند که ابعاد مرزی اشکال مختلف نامنظم از جمله پاکت های شهری تخمین زده شود.

2. روابط اندازه گیری فراکتال

2. 1اولین مجموعه فرمول ها

مقادیر به اصطلاح ابعاد فراکتال بر اساس فرمول های تقریبی در واقع شاخص های فراکتالی هستند که می توان برای جایگزینی بعد فراکتال تحت شرایط عدم وجود داده های کافی استفاده کرد. فرضیه اساسی این است که خط مرزی یک منطقه نامنظم یک منحنی پیشرونده بسته است. یک پیشرو یک شیء مانند فراکتال است که یک فراکتال واقعی نیست [19 ، 20]."طول" خط فراکتال واقعی بی نهایت است. اگر مرز نامنظم مانند پاکت شهری یک منحنی فراکتال واقعی باشد ، ما نمی توانیم هیچ فرمول ساده ای را برای شاخص های فراکتال و شاخص های شکل بدست آوریم. با استفاده از ایده های prefractals ، می توانیم تعدادی فرمول تقریب ابعاد مرزی را از یک شکل مرجع معین پیدا کنیم. اشکال مرجع برخی از انواع شکل های هندسی معمولی است که در یک فضای اقلیدسی 2 بعدی ، از جمله دایره استاندارد ، مثلث منظم ، مربع ، شش ضلعی منظم و ستاره شش اشاره شده معمولی تعریف شده است (شکل 1). مثلث را می توان به عنوان شکل اصلی در هندسه اقلیدسی در نظر گرفت. تمام ارقام هندسی ، از جمله مربع ، مستطیل ، ذوزنقه ، دایره ، بیضی و اشکال نامنظم ، می توانند به مثلث ها کاهش یابد. بنابراین ، اولین فرمول تخمین بعد فراکتال برای مرزهای نامنظم باید از یک مثلث معمولی بدست آید. برای یک مثلث دو طرفه با طول جانبی R ، منطقه A و محیط P می توانند به شرح زیر بیان شوند: