تجزیه و تحلیل آماری در جامعه شناسی

دومین اندازه گیری مهم توزیع ، گسترش آن است. گسترش نشان می دهد که ارزشهای فردی تا چه اندازه از مرکز توزیع سقوط می کنند. همانطور که در شکل 14 در زیر نشان داده شده است ، دو توزیع می توانند دارای یک مرکز و شکل کلی باشند (در این حالت منحنی زنگ) اما دارای گسترش های بسیار متفاوتی هستند.

شکل 14: دو توزیع متفاوت با تعداد متوسط اما بسیار متفاوت ، بر اساس داده های شبیه سازی شده.

دامنه و دامنه بین کوارتیل

یکی از ساده ترین اقدامات گسترش ، محاسبه دامنه است. دامنه فاصله بین بالاترین و کمترین مقدار است. بیایید نگاهی به دامنه کرایه پرداخت شده (در پوند انگلیس) برای بلیط های تایتانیک بیندازیم. دستور خلاصه ، اطلاعات مورد نیاز ما را به ما می دهد:

توجه داشته باشید که حداقل یک نفر آن را به صورت رایگان در تایتانیک ساخته است. بالاترین کرایه پرداخت شده 512. 3 پوند بود. بنابراین محدوده محاسبه 512. 3 - 0 = 512. 3 آسان است. تفاوت بین بالاترین و کمترین مسافر با پرداخت حدود 512 پوند بود.

این مثال همچنین کمبود دامنه را به عنوان معیار گسترش نشان می دهد. اگر در داده ها وجود داشته باشد ، آنها می خواهند در این محدوده ظاهر شوند و بنابراین دامنه ممکن است ایده گمراه کننده ای در مورد چگونگی پخش مقادیر به شما بدهد. توجه داشته باشید که صدک 75 در اینجا فقط 31. 28 پوند است ، که نشان می دهد حداکثر 512. 3 بسیار دور است. ما می توانیم این کار را با نمودار یک جعبه جعبه بررسی کنیم ، همانطور که در شکل 15 انجام داده ام.

شکل 15: جعبه کرایه پرداخت شده در تایتانیک

حداکثر مقدار چنان دور از ذهن است که بقیه Boxplot باید "خرد شده" شوند تا همه آن را در نمودار قرار دهند. واضح است که این شاخص خوبی برای گسترش نیست. با این حال ، ما قبلاً شاهد اندازه گیری بهتری از گسترش با استفاده از یک ایده مشابه بودیم: دامنه interquartile یا IQR. IQR فقط دامنه بین صدک 25 و 75 است. ما قبلاً این اعداد را از خروجی بالا داریم ، بنابراین IQR = 31. 28-7. 90 = 23. 38. بنابراین ، تفاوت در کرایه بین صدک 25 و 75 (50 ٪ از داده ها) 23. 4 پوند بود. این نتیجه حاکی از گسترش کرایه های بسیار کوچکتر است.

همچنین می توانید از دستور IQR در R استفاده کنید تا مستقیماً IQR را محاسبه کنید.

واریانس و انحراف استاندارد

متداول ترین اندازه گیری گسترش ، واریانس و اندازه گیری مشتق آن ، انحراف استاندارد است. در واقع آنقدر رایج است که بیشتر مردم به سادگی به مفهوم "گسترش" به عنوان "واریانس" یاد می کنند. واریانس را می توان به عنوان "فاصله متوسط مربع تا میانگین" تعریف کرد. البته ، "فاصله مربع" کمی فکر کردن در مورد آن کمی سخت است ، بنابراین ما معمولاً ریشه مربع واریانس را می گیریم تا انحراف استاندارد را بدست آوریم که به ما "فاصله متوسط تا میانگین" را می دهد. تصور کنید اگر قرار بود به طور تصادفی یک مشاهده را از مجموعه داده خود انتخاب کنید و حدس بزنید که تا چه حد از میانگین خواهد بود. بهترین حدس شما انحراف استاندارد خواهد بود.

محاسبه واریانس و انحراف استاندارد کمی ارعاب کننده است اما ما آن را به مراحل می ریزیم تا نشان دهیم که این کار سخت نیست. در همان زمان ، من به شما نشان می دهم که قطعات موجود در R را با استفاده از متغیر کرایه از داده های تایتانیک محاسبه کنید.

فرمول کلی برای واریانس (که به عنوان (S^2 ) نشان داده شده است:

این سخت به نظر می رسد ، اما اجازه می دهد تا آن را تجزیه کند. اولین قدم این است:

شما هر مقدار از متغیر خود را (x ) می گیرید و میانگین آن را از آن جدا می کنید. این کار را می توان به راحتی انجام داد:

این معیار توضیحی در مورد اینکه هر مشاهده تا چه اندازه از میانگین است که در حال حاضر نوعی اندازه گیری گسترش است ، به ما می دهد ، اما ما هنوز نمی توانیم با آن کار زیادی انجام دهیم زیرا برخی از تفاوت ها مثبت هستند (بالاتر از میانگین) و برخی منفی هستند(پایین تر از میانگین). در حقیقت ، اگر میانگین این اختلافات را در نظر بگیریم ، با تعریف صفر خواهد بود زیرا این بدان معنی است که میانگین نقطه تعادل توزیع باشد.

مرحله بعدی:

ما فقط باید اختلافات را مربع کنیم. این امر از مشکل منفی/مثبت ما خلاص می شود ، زیرا مقادیر مربع همه مثبت خواهند بود.

مرحله بعدی:

ما باید تمام ارزشهای خود را خلاصه کنیم. این مقدار گاهی اوقات به طور خلاصه مبلغ مربع X یا SSX نامیده می شود. در حال حاضر تقریباً به اندازه گیری واریانس نزدیک است.

هرچه به طور متوسط فاصله بیشتری از میانگین وجود داشته باشد ، این مقدار بزرگتر خواهد بود. با این حال ، هنگامی که ما ارزش های بیشتری داریم ، بزرگتر می شود زیرا ما فقط یک مبلغ می گیریم. برای به دست آوردن عددی که در بین تعداد مختلف مشاهدات قابل مقایسه باشد ، باید مرحله آخر را انجام دهیم:

ما قصد داریم مقدار SSX خود را بر اساس تعداد مشاهدات منهای یک تقسیم کنیم. چیز "منهای یک" کمی مشکل است و من نمی خواهم به جزئیات این موضوع بپردازم که چرا این کار را در اینجا انجام می دهیم. وقتی N بزرگ باشد ، این اثر کمی خواهد داشت و اساساً شما به طور متوسط از میانگین مربع فاصله می گیرید.

بنابراین میانگین فاصله مربع از میانگین کرایه 2677. 39 پوند مربع است. البته ، این یک عدد بسیار قابل تفسیر نیست ، بنابراین احتمالاً بهتر است آن را مربع کنید و انحراف استاندارد را بدست آورید:

بنابراین ، میانگین فاصله از میانگین کرایه 51. 74 پوند است.

توجه داشته باشید که من می توانستم از قدرت R برای انجام این کل محاسبه در یک خط استفاده کنم:

از طرف دیگر ، من فقط می توانستم از دستور SD استفاده کنم تا R را انجام دهم: