محدودیت های نوسان ساز تصادفی

ما یک تئوری میانگین میدان را برای مدل های نوسان ساز فاز تصادفی با اتصال اتصال غیر متعارف ، یعنی توپولوژی های نمودار ناهمگن و وزن جفت فرموله کردیم. تجزیه و تحلیل ما برای مدلهای نوع کورامووتو با توابع جفت متقارن عجیب و غریب ، که از طریق خطی سازی در اطراف شاخه محلول ناسازگار به دست می آید ، فرمول دقیقی را برای استحکام جفت بحرانی C ♮ در انتقال ناسازگاری و پوشش در محدوده میانگین میدان به دست می آورد. یکپارچه سازی عددی بازنمودهای محدود [نگاه کنید به Eq.(1)] با آستانه پیش بینی شده C ♮ بسیار خوب موافق است.(22)] برای طیف گسترده ای از ساختارهای نمودار ناهمگن (شکل 2 را ببینید). 60 60. توجه داشته باشید که شبکه حلقه معمولی با N = 1000 هماهنگ سازی ناقص (0 ≪ R ≪ 1) را برای R = 25 [شکل 2 (b)] نمایش می دهد ، در حالی که r = 400 ظهور منظم تر از انسجام (جزئی) [جزئی) [شکل 2 (ج)] ؛در واقع ، این مورد (با سر و صدای صفر) شناخته شده است که از نظر چند مرحله ای بین شاخه منسجم و یک حالت به اصطلاح پیچ خورده تا زمانی که R / N باشد<0.34 . 33 We, therefore, expect our theory to be applicable to a large range of applications with heterogeneous oscillator interactions, such as systems with non-uniform coupling associated with chimera states 61 61. M. J. Panaggio and D. M. Abrams, “ Chimera states: Coexistence of coherence and incoherence in networks of coupled oscillators ,” Nonlinearity 28 (3), R67 R87 (2015). https://doi.org/10.1088/0951-7715/28/3/R67 or X Y -oscillator type models with random coupling. 34,62 34. D. Sherrington and S. Kirkpatrick, “ Solvable model of a spin-glass ,” Phys. Rev. Lett. 35 (26), 1792 (1975). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.35.1792 62. H. Hong and E. A. Martens, “ First-order like phase transition induced by quenched coupling disorder ,” Chaos 32 ,063125 (2021). https://doi.org/10.1063/5.0078431

برای برخی از توپولوژی های نمودار که با استفاده از کمبود قوی ، واریانس زیاد در نقاط قوت جفت یا انواع دیگر "خوشه بندی" که حاکی از تکه تکه شدن اتصال در شبکه است ، توصیف می شود ، به ویژه از نظر پیش بینی صحیح پیش بینی می شود. انتقال ناسازگاری و انسجام برای سیستم های اندازه محدود. ما دریافتیم که چنین مشکلی حداقل برای یک نمونه ، یعنی برای توپولوژی نمودار Lorentzian رخ می دهد [به شکل ها مراجعه کنید. 2 (d) و 2 (e)] ، که برای آن تشخیص یک نقطه انتقال تیز از نظر عددی دشوار است. نمودار لورنتزی تنها با چند گره با وزن لبه بسیار قوی مشخص می شود ، در حالی که اکثریت قریب به اتفاق وزن لبه بسیار ضعیف است: توپولوژی نمودار به طور مؤثر بسیار پراکنده است. این بدان معنی است که ما برای رعایت نوسانات منسجم به C بسیار بزرگتر نیاز داریم. همانطور که از مقایسه پانل ها (D) و (E) آشکار می شود ، کیفیت متفاوت انتقال ناسازگاری بین لورنتزیان و سایر نمودارهای در نظر گرفته شده به ویژه با افزایش پراکندگی مؤثر (0 μ) مشخص می شود. توجه داشته باشید که برای دستیابی به انسجام (جزئی) در مقایسه با سایر توپولوژی ها ، فقط قدرت اتصال کلی بزرگتر نیست. اگر اینگونه بود ، فقط C ♮ بزرگتر را برای نمودار لورنتزیان نسبت به سایر نمودارها مشاهده می کند ، و شروع انسجام هنوز هم در C = C تنظیم می شود. در عوض ، به نظر می رسد که شروع انسجام فراتر از C = C به تأخیر می افتد به طوری که افزایش همزمان جزئی در خیلی آهسته با افزایش C تنظیم می شود. این مشاهدات به ویژه برای μ بسیار کوچک تلفظ می شود تا هسته اتصال به طور مؤثر بسیار پراکنده شود. بنابراین ، نمودار لورنتزی یک توپولوژی جفت جالب را نشان می دهد که یک کلاس ممکن از نمودارهایی را مشخص می کند که حداقل برای مقادیر مشخصی از توضیحات میدانی و پیش بینی میانگین ما برای انتقال ناهماهنگی برای نمایندگی در اندازه محدود تجزیه می شود.

در حالی که ما تئوری میانگین میدان را برای مدل کورامووتو تصادفی با اتصال به همه به همه و نقاط قوت جفت یکنواخت به اتصال ناهمگن با نقاط قوت اتصال غیر یکنواخت گسترش دادیم ، محدودیت های خاصی برای مدل ما اعمال می شود. اینها ممکن است اعتبار نظریه ما و راه های سریع برای تحقیقات آینده را محدود کند. به عنوان مثال ، ما فرض کرده ایم که عملکرد اتصال D (U) عجیب است. این فرض ، به ویژه ، مدل Kuramoto-Sakaguchi ، که دارای یک عملکرد اتصال D (U) = SIN u2061 (U + α) با یک فاز-LAG است ، حذف نمی کند. این فاز-آب به فرد اجازه می دهد تا تعامل جفت را به یک عملکرد سینوسی در مقابل سسین تنظیم کند ، به ترتیب پویایی شیب مانند و یکپارچه را متمایز کند [با Eq مقایسه کنید.(2) بدون سر و صدا (β - 1 = 0)] و حاکی از انتقال مختلف عدم انسجام و انسجام است (توجه داشته باشید که ترکیبی از چنین تعامل نیز برای مشاهده حالت های کیمره شکستن تقارن با الگوهای هماهنگ سازی غیر یکنواخت در شبکه 61،63 61 ضروری است. M. J. Panaggio و D. M. Abrams ، "بیان می کند:" بیان می کند: همزیستی انسجام و عدم انسجام در شبکه های نوسان سازهای همراه ، "غیرخطی 28 (3) ، R67 R87 (2015). https://doi.org/1088/0951-777715/28/28/3/R67 63. O. Burylko ، E. A. Martens ، and C. Bick ، "شکستن تقارن در دو جمعیت کوچک نوسان ساز از نوع Kuramoto ،" Arxiv: 2202. 10807 (2022)) را نشان می دهد. مورد علاقه. توابع اتصال D (U) از نظم هارمونیک بالاتر اخیراً مورد توجه بسیاری قرار گرفته است که این امر حاکی از رژیم های پایداری پیچیده تر و انتقال بین عدم انسجام و انسجام است. 64-67 64. P. Ashwin and O. Burylko ، "کیمرهای ضعیف در شبکه های حداقل نوسان سازهای فاز همراه ،" هرج و مرج 25 (1) ، 013106 (2015). https://doi.org/10. 1063/1. 4905197 65. P. Ashwin ، C. Bick ، and O. Burylko ، "شبکه های نوسان ساز فاز یکسان: bifurcations ، تقارن و برگشت پذیری برای اتصال عمومی ،" جلو. کاربردریاضی. آمار2 ، 7 (2016). https://doi.org/10. 3389/fams. 2016. 00007 66. Y. Kuramoto ، دینامیک غیرخطی و هرج و مرج: از کجا می رویم؟(تیلور و فرانسیس ، 2003). 67. C. Bick ، T. Böhle ، and C. Kuehn ، "شبکه های نوسان ساز فاز چند جمعیت با تعامل مرتبه بالاتر ،" Arxiv: 2012. 04943 (2020) ، صص 1-30. علاوه بر این ، تعامل با تعامل جفت دلخواه (به عنوان مثال ، غیر متقارن) D = D (U K ، U L) ممکن است ، 68 68. B. Pietras و A. Daffertshofer ، "پویایی شبکه نوسان سازهای همراه و تکنیک های کاهش فاز ،" Phys. نماینده 819 ،

1- 105 (2019). https://doi.org/10. 1016/j. physrep. 2019. 06. 001 که دلالت بر توپولوژی های نمودار کارگردانی دارد. 47 47. C. Kuehn و C. Xu ، "معادلات VLASOV در مورد اقدامات Digraph" ، Arxiv: 2107. 08419 (2021) ، صص 1-69. در حالی که ما مدل Kuramoto را با فرکانس های ذاتی یکسان مورد مطالعه قرار دادیم ، وجود فرکانس های توزیع شده نیز مورد توجه است. سرانجام ، پسوند به سایر مدل های نوسان ساز فاز ، مانند مدل Kuramoto با اینرسی 26،69 26. M. Rohden ، A. Sorge ، M. Timme و D. Witthaut ، "هماهنگ سازی خود سازمان یافته در شبکه های قدرت غیر متمرکز" ، فیزیکوادروحانی لت. 109 (6) ، 064101 (2012). https://doi.org/10. 1103/physrevlett. 109. 064101 69. G. B. ErmentRout ، "یک مدل تطبیقی برای همگام سازی در Firefly Pteroptyx Malaccae ،" J. Math. بیول29 (6) ، 571 - 585 (1991). https://doi.org/10. 1007/bf00164052 یا نورون تتا (یا نورون Qif) که فقط چرخش های سفت و سخت را انجام می دهد که مربوط به سنبله بالاتر از جریان آستانه است ، قابل ذکر است. استخراج توضیحات میدانی دقیق برای سیستم های فوق بسیار مفید خواهد بود. امروزه توضیحات میدانی فقط برای ساختارهای نمودار کامل در دسترس است. 70،71 70. E. Montbrió ، D. Pazó و A. Roxin ، "توضیحات ماکروسکوپی برای شبکه های نورونهای سنبله ،" فیزیک. Rev. x 5 (2) ، 021028 (2015). https://doi.org/10. 1007/bf00164052 71. C. Kuehn and S. Throm ، "دینامیک شبکه برق روی گرافون ها" ، سیام جی. ریاضی. 79 (4) ، 1271 - 1292 (2019). https://doi.org/10. 1137/18m1200002 سرانجام ، ممکن است فرد نیز انتقال بین یا اختلافات - ایستگاه های غیر از عدم انسجام یا انسجام ، مانند حالت های کیمرا یا حالت های پیچ خورده را در نظر بگیرد. حالت های پیچ خورده به دلیل مقادیر ویژه منفی از اپراتور نمودار ، در تقسیمات بوجود می آیند. 72 72. H. Chiba ، G. S. Medvedev ، and M. S. Mizuhara ، "Bifurcations در مدل Kuramoto در نمودارها" ، Chaos 28 (7) ، 073109 (2018). https://doi.org/10. 1063/1. 5039609 جالب است که تئوری میانگین میدان توسعه یافته در اینجا به چنین مواردی گسترش یابد. برخی از کارها در این جهت ها در زمینه های مختلف انجام شده است. 73 73. C. Kuehn و C. Xu ، "معادلات VLASOV در مورد اقدامات Hypergraph کارگردانی" ، Arxiv: 2207. 03806 (2022).

یکی دیگر از راه های مهم برای تحقیقات آینده ، روشن کردن رژیم اعتبار برای توضیحات میدانی برای ساختارهای بسیار پراکنده و بسیار ناهمگن است. با دقت توجه داشته باشید که بعد مؤثر معادله میدان میانگین VFPE (15a) رشد ناهمگن تر نمودار به دلیل وابستگی نوع گره رمزگذاری شده توسط نقاط در Ω است. از این رو ، توضیحات میدانی هنوز هم می تواند وجود داشته باشد ، و نتایج ما نشان می دهد که این میدان میانگین اغلب برای تعیین اینکه آیا برخی از گره ها شروع به انتقال از ناسازگاری به هماهنگی جزئی می کنند ، بسیار مفید است. با این حال ، برای الگوهای پیچیده تر ، شامل تعامل بین همه انواع گره های میانگین مختلف بر روی ساختارهای بسیار پراکنده ، پیش بینی می کنیم که توضیحات میدان میانگین در نهایت از آن استفاده نمی کند زیرا همچنین با ابعاد بالایی نیز وجود دارد. به طور خلاصه ، برای تعیین کامل محدودیت های نظری و عملی VFPE های میانگین ناهمگن یک مشکل چالش برانگیز برای کارهای آینده است.

تصدیق