7. نمودارها در محورهای لگاریتمی و نیمه لگاریتمی

در یک نمودار semilogarithmic ، یک محور دارای مقیاس لگاریتمی و محور دیگر دارای مقیاس خطی است.

در نمودارهای ورود به سیستم ، هر دو محور دارای مقیاس لگاریتمی هستند.

ایده در اینجا این است که ما از محورهای Semilog یا Log-Log Graph استفاده می کنیم تا بتوانیم به راحتی جزئیات مقادیر کوچک Y و همچنین مقادیر بزرگ Y را مشاهده کنیم.

در این نمودار رتبه ترافیک YouTube می توانید چند نمونه از نمودارهای نیمه لگاریتمی را مشاهده کنید.

همچنین بعداً در این صفحه توزیع فشار هوا و ZIPF را مشاهده کنید.

نمودارهای نیمه لگریتمی

در مجموعه زیر از محورها ، مقیاس عمودی لگاریتمی (مقیاس برابر بین قدرت 10) و مقیاس افقی خطی است (حتی فاصله بین اعداد).

هیچ عدد منفی در y-axis وجود ندارد ، زیرا ما فقط می توانیم لگاریتم اعداد مثبت را پیدا کنیم.

توجه: اعداد موجود در y-axis در نزدیکی هر قدرت انتگرال 10 به هم نزدیک می شوند ، بنابراین آنها برای خوانایی حذف شده اند.

مثال 1: نمودار `y = x`

بیایید ببینیم نمودار ساده `y = x` در انواع محورهای مختلف به نظر می رسد.

آ.`y = x` در محورهای خطی

در محورهای خطی معمولی ، نمودار `y = x` یک خط مستقیم است و از طریق` (-2 ، -2) `،` (-1 ، -1) `،` (0،0) `،` (عبور می کند (1،1) `،` (2،2) `، و غیره

نمودار `y = x` در محورهای خطی (لین-لین).

ب.`y = x` در محورهای نیمه لگاریتمی (محور عمودی لگاریتمی ، محور افقی خطی)

در محورهای نیمه لگاریتمی ، نمودار `y = x` یک منحنی است ، نه یک خط مستقیم. هنوز از "(1،1)) ،` (2،2) `،` (3،3) `و غیره عبور می کند ، اما متوجه خواهید شد که هیچ ارزش منفی برای` y `وجود ندارد (و در این مورد در این مورد، هیچ مقدار منفی برای `x`) از آنجا که نمی توانیم گزارش یک عدد منفی را پیدا کنیم.

نمودار `y = x` در محورهای semilogarithmic (log-lin).

من امتیازها را علامت گذاری کردم (1،1) ، `(2،2)` ، `(3،3)` ، `(4،4)` (5،5) `،` (6،6) `روی منحنی.

ج.`y = x` در محورهای نیمه لگاریتمی (محور عمودی ، لگاریتمی محور افقی)

در امتداد منحنی `y = x` در محورهای Lin-log.

من امتیازات (1،1) `،` (2،2) `،` (3،3) `تا` (10،10) را روی منحنی مشخص کرده ام.

توجه کنید که هیچ مقدار منفی برای `x` در منحنی Lin-log وجود ندارد.

نمونه های نمودار نیمه لاگریتمی

(الف) نمودارهای ترافیک

محبوبیت سایت Imeem.com در سال 2006/7 بسیار سریع رشد کرد. در اینجا نمودار الکسا از آن رشد ، با استفاده از یک مقیاس افقی خطی (سال) و یک مقیاس واقعی لگاریتمی برای رتبه محبوبیت (که در آن رتبه = 1 به معنای محبوب ترین است) است.

Imeem متعاقباً توسط MySpace خریداری شد.

(ب) نمودارهای مالی

صنعت مالی از مقیاس های نیمه لگاریتمی استفاده می کند تا نمودارها را آسانتر کند. به عنوان نمونه این نمودار قیمت طلا را مشاهده کنید.

مثال 2: نماینده متغیر

ما برخی از مشاهدات را در یک آزمایش شامل رشد جمعیت میکروبی در دماهای مختلف انجام دادیم و داده های به دست آمده به شرح زیر است:

ما برای هر `1 درجه` افزایش دما 7 برابر افزایش جمعیت را مشاهده می کنیم ، بنابراین می توانیم داده ها را با استفاده از عملکرد `P = 7^t` مدل کنیم.

ما داده ها را در محورهای T-P خطی به شرح زیر ترسیم می کنیم:

نمودار `P = 7^t` در محورهای خطی خطی.

طرح ما جزئیات معقول را برای مقادیر "x" بزرگتر از `1" نشان می دهد ، اما برای مقادیر کوچکتر `x` یا` y به ما نمی گوید. نقاط خیلی نزدیک به x-axis برای ما هستیم تا ببینیم چه خبر است.

بیایید اکنون داده های مشابه را در محورهای نیمه لگاریتمی ترسیم کنیم.

نمودار `P = 7^t` در محورهای semilogarithmic.

اکنون می توانیم اطلاعات بیشتری را برای مقادیر کوچکتر `x` و` y مشاهده کنیم. این زیبایی توطئه های محور نیمه لگاریتمی است - می توانید جزئیات بیشتری را در نمودارهایی مشاهده کنید که در آن مقادیر بسیار گسترده ای وجود دارد ، اما برخی از داده ها به هم نزدیک هستند.

مثال 3

نمودارهای `y = 5^x` را بر روی خطی و هر دو نوع محورهای نیمه سیلیوگاریومیک بکشید.

برای مرجع ، در اینجا یک جدول از مقادیر برای `y = 5^x` وجود دارد:

در اینجا نمودار روی محورهای خطی x-y قرار دارد:

نمودار `y = 5^x` در محورهای خطی خطی.

طرح ما جزئیات معقول را برای مقادیر فقط بیشتر از `1 نشان می دهد.

در اینجا همان داده هایی که در محورهای نیمه لگاریتمی (ورود به سیستم) ترسیم شده است.

نمودار `y = 5^x` در محورهای semilogarithmic (log-lin).

شما می توانید جزئیات بسیار بیشتری را برای مقادیر کوچکتر `x` و` y مشاهده کنید.

توجه کنید که نمودار یک تابع نمایی در یک نمودار نیمه بسته یک خط مستقیم است.

همچنین توجه کنید که اعداد در امتداد محور X به طور مساوی از هم فاصله دارند ، در حالی که در امتداد y-axis ، ما قدرت 10 به طور مساوی داریم.

سرانجام ، در اینجا نمودار `y = 5^x` در Lin-log (محور عمودی خطی ، محور افقی لگاریتمی) آورده شده است.

در امتداد منحنی `y = 5^x` با استفاده از محورهای lin-log.

در این مثال ، در استفاده از این آخرین نوع نمودار سمیلوگارییتمی مزیت زیادی وجود ندارد ، زیرا ما جزئیات زیادی را برای مقادیر کمتر از `1 مشاهده نمی کنیم.

نمودارهای ورود به سیستم

نمودارهای ورود به سیستم از یک مقیاس لگاریتمی برای محورهای عمودی و افقی استفاده می کنند.

در اینجا نمودار `y = x` در محورهای log-log آورده شده است.

در امتداد خط `y = x` در محورهای ورود به سیستم.

نمودار فوق نکات زیر را برای وضوح برجسته کرده است:

`(1 ، 1)` ، `(2 ، 2)` ، `(3 ، 3)` ، `(4 ، 4)` ، `(5 ، 5)` ، `(6 ، 6)` ، `(10 ، 10) `، و` (100 ، 100) `.

توجه: هر دو دامنه ( X-Values) و دامنه ( Y-Values) باید مثبت باشند ، زیرا نمی توانید لگاریتم یک عدد منفی را داشته باشید.

نمونه جمعیت

ما همچنین می توانیم نمونه جمعیتی را که قبلاً با آنها ملاقات کردیم ، نمودار کنیم ، `P = 7^t` در کاغذ ورود به سیستم (یعنی هر دو محور از مقیاس ورود به سیستم استفاده می کنند):

در امتداد منحنی `P = 7^t` در محورهای ورود به سیستم.

اکنون می توانیم جزئیات بیشتری را برای مقادیر کوچک x و y مشاهده کنیم ، اما نمی توانیم دمای منفی را در محور افقی قرار دهیم.

مثال 4: متغیر مطرح شده به یک نماینده کسری

نمودار y = x 1/2 با استفاده از هر 4 نوع محور (مستطیل شکل ، هر دو نوع نیمه راه و ورود به سیستم). این تابع معادل `y = sqrt (x) است.

طرح محورهای مستطیل

با استفاده از محورهای مستطیل ، می بینیم که نمودار y = x 1/2 نیمی از پارابولا در سمت آن است (یعنی محور parabola افقی است):

نمودار `y = sqrt (x)` در محورهای خطی.

ما قبلاً این منحنی را در بخش Parabola دیده ایم.

توجه 1: جزئیات نزدیک `(0 ، 0)` با استفاده از یک شبکه مستطیل چندان خوب نیست.

توجه 2: منحنی از "(0 ، 0)) ،` (1 ، 1) `،` (4 ، 2) `و` (9 ، 3) `عبور می کند. در هر حالت ، y-Value ریشه مربع X-Value است که انتظار می رود.

اکنون بیایید منحنی را با استفاده از توطئه های نیمه لگاریتمی مشاهده کنیم.

محور عمودی لگاریتمی ، محور افقی خطی

نمودار `y = sqrt (x)` در محورهای semilogarithmic (log-lin).

اکنون ما جزئیات بسیار بهتری برای Y کوچک داریم. کمترین مقدار y که نمودار نشان می دهد "y = 0. 1" است. ما می توانیم پایین تر از این برویم ، اما نمی توانیم "Y = 0" را نشان دهیم ، زیرا لگاریتم `0 تعریف نشده است.

می توانیم ببینیم که منحنی هنوز از "(1 ، 1) ،` (4 ، 2) `و` (9 ، 3) عبور می کند.

محور عمودی خطی ، محور افقی لگاریتمی

نقاط در امتداد منحنی `y = sqrt (x)` با استفاده از محورهای lin-log.

محور عمودی لگاریتمی ، محور افقی لگاریتمی (ورود به سیستم)

نقاط در امتداد منحنی `y = sqrt (x) در محورهای ورود به سیستم.

ما مشاهده می کنیم که نمودار y = x 1/2 یک خط مستقیم است که در محورهای ورود به سیستم نمودار می شود.

یک بار دیگر منحنی ما از "(1 ، 1) ،` (4 ، 2) `و` (9 ، 3) `(که توسط نقاط موجود در نمودار نشان داده شده است) عبور می کند.

برنامه 1: فشار هوا

1. با پمپاژ ، فشار هوا در یک مخزن در هر ثانیه 18 ٪ کاهش می یابد. بنابراین درصد فشار هوا باقیمانده در زمان `t" توسط p = 100 (0. 82) t داده می شود.

طرح P در برابر T برای 0

(الف) یک سیستم هماهنگ مستطیل

(ب) یک سیستم semilogarithmic.

(الف) طرح مستطیل:

نمودار `y = 100 (0. 82)^t` در محورهای خطی.

(ب) طرح سمیلوگرامی:

نمودار `y = 100 (0. 82)^t` در محورهای semilogarithmic.

برنامه 2: توزیع ZIPF

رایج ترین کلمات را به زبان انگلیسی در نظر بگیرید. به نظر می رسد که بین درجه وقوع یک کلمه و فراوانی استفاده از آن رابطه ای وجود دارد. این رابطه توسط جورج کینگزلی زیپف در نیمه اول قرن بیستم مشاهده شد.

توزیع ZIPF مشاهده ای است که در مقایسه رتبه و فرکانس وقایع کلمه است. به طور کلی ، کلمه با رتبه K فرکانس تقریباً متناسب با `1/k` است. به عبارت دیگر ، دومین کلمه متداول مورد استفاده در مورد "1/2" اغلب به عنوان رایج ترین کلمه رخ می دهد. به همین ترتیب ، سوم ترین کلمه رایج در مورد `1/3` به عنوان رایج ترین کلمه رخ می دهد.

توزیع ZIPF به طور طبیعی در بسیاری از شرایط رخ می دهد ، به عنوان مثال در:

• تماس به سیستم عامل های رایانه
• رنگ در تصاویر
• به عنوان اساس اکثر رویکردها برای فشرده سازی تصویر
• جمعیت شهر (تعداد کمی از شهرهای بزرگ ، تعداد بیشتری از شهرهای کوچکتر)
• توزیع ثروت (تعداد کمی از مردم مقادیر زیادی پول دارند ، تعداد زیادی از مردم مبلغ کمی پول دارند)
• توزیع اندازه شرکت
• هوش مصنوعی (به ویژه ، "رباتهای چت" که می توانند با انسان گپ بزنند) به تعداد محدودی از سؤالات و اظهاراتی که افراد در واقع در گپ می نویسند ، متکی است.

آ. کلمات انگلیسی رایج

Zipf در ابتدا قانون خود را در پاسخ به این مشاهدات که فرکانس کلمات به طور معکوس متناسب با رتبه هر کلمه بود ، توسعه داد.

به عنوان مثال ، رایج ترین 20 کلمه به زبان انگلیسی در جدول زیر ذکر شده است. این جدول مبتنی بر Corpus Brown ، یک مطالعه دقیق از یک میلیون کلمه از منابع متنوعی از جمله روزنامه ها ، کتاب ها ، مجلات ، داستان ها ، اسناد دولتی ، انتشارات کمدی و دانشگاهی است.

رایج ترین کلمه ، "" در حدود 70،000 بار (یا "7 ٪" از میلیون کلمه شمارش شده) رخ داده است. کلمه رتبه بعدی ، "از" ، در حدود `3. 6 ٪` از زمان (یا در حدود `1/2" به عنوان کلمه رده بالا.) سومین کلمه محبوب "و" بود.`2. 8 ٪` ، یا تقریباً `1/3` از فرکانس کلمه رده بالا.

(20 کلمه اول در مجموعه قهوه ای، منتشر شده در سال 1967. این مجموعه تعداد دفعات استفاده از یک میلیون کلمه در انواع کتاب ها، روزنامه ها و نشریات دیگر است. [منبع جدول دیگر در دسترس نیست، اما شبیه به Corpus ofانگلیسی معاصر آمریکایی.]

من "توزیع نظری Zipf را بر اساس کلمه رتبه بندی شده n که تقریباً "1/n" برابر فرکانس بالاترین رتبه بندی شده است، اضافه کرده ام. این به ما هذلولی می دهد که قبلاً با آن آشنا شده بودیم.)

بیایید آنچه را که مشاهده کرده ایم ترسیم کنیم:

نقاط داده آبی تیره نشان دهنده 20 کلمه برتر انگلیسی است (با چند مورد اول برچسب گذاری شده). خط صورتی توزیع نظری Zipf است که به صورت "f/n^0. 94" است که f بسامد کلمه با رتبه برتر و n رتبه کلمه است.

`f/(1^0. 94) = 69970`،

"f/2^0. 94 = 69970/2^0. 94 = 36470، "

"f/3^0. 94 = 69970/3^0. 94 = 24912،"

"f/4^0. 94 = 69970/4^0. 94 = 19009،"

"f/5^0. 94 = 69970/5^0. 94 = 15412، "

`. `

توان «0. 94» از مشاهده بهترین خط تناسب برای فرکانس های کلمه به دست می آید.(من فقط آزمون و خطا را در اکسل انجام دادم تا زمانی که بسته را مناسب یافتم.)

شکاف نسبتاً زیادی در الگوی کلمات "به"، "a" و "in" وجود دارد، اما پس از آن کاملاً ثابت است و کاملاً ثابت است.

اکنون 2000 کلمه برتر انگلیسی را رسم می کنیم و از یک مقیاس log-log (log رتبه برای محور افقی و ثبت فرکانس برای محور عمودی) استفاده می کنیم. اگر یک توزیع یک خط مستقیم در مقیاس log-log به ما بدهد، می توانیم بگوییم که یک توزیع Zipf است.

ما می بینیم که یک نتیجه قابل توجه ثابت برای 2000 کلمه برتر انگلیسی وجود دارد. برای اطلاع شما، چند کلمه آخر در لیست 2000 کلمه عبارتند از:

بوب سایت ها و توزیع Zipf

ما همچنین در مورد محبوبیت صفحات در وب سایت ها، توزیع Zipf را مشاهده می کنیم.

به عنوان مثال، از نمونه 500000 بازدید از صفحه در ریاضیات تعاملی، بیشترین بازدیدکننده صفحه اصلی با 27855 بازدید بود. متداول ترین صفحه بعدی مقدمه جبر بود که حدود 1/2 بازدید داشت. صفحه رتبه 3 حدود 1/3 بازدید از محبوب ترین صفحه را داشت.

برای 500 صفحه برتر در سایت، نمودار log-log زیر را از بازدیدهای صفحه داریم:

توزیع نظری Zipf (خط صورتی) به صورت زیر بدست می آید. توان استفاده شده، 0. 67، بار دیگر از مشاهده بهترین خط تناسب ناشی می شود.

`27855/2^0. 67 = 17507`

`27855/3^0. 67 = 13342`

`27855/4^0. 67 = 11003`

`27855/5^0. 67 = 9475`

`27855/6^0. 67 = 8835`

پس از اینکه صفحه در رتبه 200 قرار گرفت، این الگو از بین می رود، اما جالب است که از صفحه 300 تا 500، هنوز یک رابطه ثابت بین رتبه و فرکانس وجود دارد.